A fenti ábrán 24 egyenes látható, amiket használhatunk akár koordinátarendszernek is a hiperbolikus geometriában. Az X pont a koordinátarendszer kezdőpontjában van. Az origóban találkozó vízszintes és függőleges vonalak az x és y tengelyek. A tengelyek a hiperbolikus síkot négy síknegyedre osztják, hasonlóképpen az euklideszi geometria Descartes-féle koordinátarendszeréhez. A további egyenesek merőlegesek a tengelyekre és a tengelyekkel vett metszéspontjaik 0,5 egységenként követik egymást. Például XA = AB = XS = ST = 0,5 egység. A euklideszi geometria Descartes-féle rendszerében az első síknegyed bármely pontját egy rendezett (x, y) számpár határozza meg, aminek első x tagja a pont x tengelytől vett távolsága, második y tagja az y tengelytől vett távolsága. A második, harmadik és negyedik síknegyedben pedig (-x, y), (-x, -y), (x, -y). Ez a definíció működik a hiperbolikus síkon is, így minden egyes pontnak saját, rá jellemző koordinátái vannak. Annak ellenére, hogy mindkét geometriában ugyanazt a definíciót használjuk a koordinátákra, mégsem kereshetünk pontokat euklideszi módszerrel a hiperbolikus síkon. Ugyanis a Descartes-féle rendszerben az (1,1) pontot úgy találjuk meg, hogy először az x tengelyen lépünk 1 egységet, majd az y tengelyen lépünk 1 egységet, aztán a tengelyekre merőleges egyeneseken végigmegyünk a metszéspontjukig, ott lesz az (1,1) pont. Ám ez az eljárás nem működik a hiperbolikus geometriában. Figyeld meg, hogy az x tengelyen 1 egységet lépve (B pont) és az y tengelyen 1 egységet lépve (T pont) a tengelyekre merőleges egyenesek nem metszi egymást! Úgy tűnhet, mintha az (1,1) pont nem létezne a hiperbolikus geometriában. Mégis, az (1,1) pont létezik és P-ben találjuk meg. A P pont távolsága mind az x, mind az y tengelytől 1 egység. A merőleges egyenes x tengellyel vett metszéspontja az origótól csak 0,7 egységre van.
Ez a koordinátarendszer is kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoz létre a hiperbolikus sík pontjai és a rendezett (x, y) számpárok között, ahol x és y valós számok.
Hogy néz ki az y = x2 görbe a hiperbolikus koordinátarendszerben?
NonEuclid kezdőlap
Következő téma - A hiperbolikus geometria kör és felső félsík modelljei
Copyright©: Joel Castellanos, 1994-2002