9: Gyakorlatok - Hogyan kezdjük a felfedezést?

• A kezdet (kiegészítõ szögek)
• Szögek
• Általános háromszögek
• Egyenlõ szárú háromszögek
• Szabályos háromszögek
• Derékszögû háromszögek
• Egybevágó háromszögek
• Téglalapok és négyzetek
• Parallelogrammák
• Rombuszok
• Sokszögek
• Körök
• A sík parkettázásai

A "Help" menü jónéhány pontja állítások egész sorát mutatja be, amik az euklideszi geometriában tételek. A Te feladatod eldönteni, hogy az állítások közül melyek tételek a hiperbolikus geometriában is.

Például az euklideszi geometriában tétel a következõ állítás:

Euklideszi tétel:

Hogy eldönthesd, ez az állítás tétel-e a hiperbolikus geometriában, próbálj ellenpéldát készíteni - egy példát, amiben a szögösszeg NEM EGYENLÕ 180°-kal.
Ehhez elõször is rajzolj véletlenszerûen három vagy négy metszõ egyenespárt, majd jelöld ki mind a három/négy metszéspontot. Ezt kétféleképpen is megteheted: kiválasztod a "Pont" menüpontot ("Alakzatok"), az egeret a metszéspontra húzod, majd kattintasz egyet. Ez a módszer nem a legjobb, mert valószínûleg nem fogod egész pontosan a metszéspont fölé vinni az egeret. A tökéletesen pontos módszer az "Alakzatok" menü "Metszéspont" nevû menüpontja. Bárhogy is teszel, ha megvan a metszéspont, használd a "Méretek"-bõl a "Szög nagysága" menüt, és mérd meg minden kiegészítõ szögpár nagyságát.

Ha sikerült ellenpéldát gyártani, akkor bebizonyítottad, hogy ez az euklideszi tétel nem igaz a hiperbolikus geometriában. Ha nem tudsz ellenpéldát gyártani, az nem bizonyít semmit - bár, elég sok sikertelen próbálkozás után elkezdhetsz hinni abban, hogy az állítás igaz, teljesül a hiperbolikus geometriában.

Vigyázz a kerekítéssel! Ha a "Szög nagysága" dialógusablakában 45,5°-os szöget látsz kiírva, az lehet a valóságban akár 45,4817331° is.

Szög mérése a NonEuclid-del:
Egy szög nagyságát a "Méretek" menü "Szög nagysága" menüpont kiválasztásával tudhatod meg.

Gyakorlás:   A következõ állítások az euklideszi geometria metszõ egyeneseirõl szóló tételek. Melyik igaz a hiperbolikus geometriában (ha van ilyen egyáltalán)?

1. Metszõ egyenespár által létrehozott szögek egymást 180°-ra egészítik ki (ezzel foglalkoztunk a fenti példában).
2. Csúcsszögek egyenlõk.

Gyakorlás:     A következõ állítások az euklideszi geometria háromszögeirõl szóló tételek. Melyik igaz a hiperbolikus geometriában (ha van ilyen egyáltalán)?

1. Bármely háromszög szögeinek összege 180°.
2. Bármely háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van és viszont.
3. Háromszög magasságai egy pontban metszik egymást. (Segítség: háromszög magasságának megrajzolásához használd az "Alakzatok" menü "Merõleges szakasz" menüpontját. Kattints a kívánt oldalra, majd a szemközti csúcsra.)
4. Bármely háromszögben két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál.
5. Bármely háromszögben egy külsõ szög nagyobb a nem mellette fekvõ belsõ szögeknél.
6. Bármely háromszögben az "alap szorozva magassággal" számítás eredménye független attól, hogy melyik oldalt és a hozzá tartozó magasságot választjuk. Például, ABC háromszögben AB*mc = BC*ma.

Gyakorlás:     A következõ állítások az euklideszi geometria egyenlõ szárú háromszögeirõl szóló tételek. Melyik igaz a hiperbolikus geometriában (ha van ilyen egyáltalán)?

1. Van egyenlõ szárú háromszög. (Hogy igazold az állítás igazságát, rajzolj egy háromszöget, ami kielégíti a definíciót - azaz van két egyenlõ oldala.)
2. Egyenlõ szárú háromszög alapon fekvõ szögei egyenlõk.
3. Egyenlõ szárú háromszög magassága felezi az alappal szemközti szöget.

Gyakorlás:     A következõ állítások az euklideszi geometria szabályos háromszögeirõl szóló tételek. Melyik igaz a hiperbolikus geometriában (ha van ilyen egyáltalán)?

1. Van szabályos háromszög.
2. Szabályos háromszög szögei egyenlõk.
3. Szabályos háromszög minden szöge 60°-os.

Gyakorlás:     A következõ állítások az euklideszi geometria derékszögû háromszögeirõl szóló tételek. Melyik igaz a hiperbolikus geometriában (ha van ilyen egyáltalán)?

1. Van derékszögû háromszög.
2. Igaz Pithagorasz tétele - azaz minden derékszögû háromszögben a befogók négyzetösszege egyenlõ az átfogó négyzetével.

Gyakorlás:

1. Egy jó módszer, hogy felfedezzük az egybevágó háromszögek tulajdonságait:
• Rajzolj háromszöget.
• Rajzolj egy egyenest.
• Válaszd az "Alakzatok" menü "Tengelyes tükrözés" pontját és tükrözd a háromszöged oldalait az egyenesre. A tengelyesen tükrözött háromszög egybevágó lesz az eredetivel, bár, mivel a hiperbolikus sík más részén található, másképp is néz ki.
• Most a "Szerkesztés" menü "Pont mozgatása" menüponttal megfoghatod a háromszöged csúcsait (a) vagy a tükörtengelyt (b) és elmozdíthatod õket. Természetesen a tükörkép is el fog mozdulni.
• Próbálj egy háromszöget négy tengelyre tükrözni egymás után! Mozgasd az eredeti háromszöged csúcsait és figyeld a háromszögek táncát.
2. A három oldalra, illetve két oldalra és a nagyobbal szemközti szögre vonatkozó egybevágósági állítások tételek az euklideszi geometriában, vajon azok a hiperbolikus geometriában is?
3. Az euklideszi geometriában sem a két oldal és kisebbel szemközti szög, sem a három szög egyezése nem elegendõ, hogy két háromszög egybevágó legyen. És ez vajon igaz a hiperbolikus geometriában?

Definíció:     A téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge 90°.

Definíció:     A négyzet olyan téglalap, aminek minden oldala egyenlõ hosszú.

Definíció:     Szabályos az a négyszög, aminek minden oldala egyenlõ és minden szöge egyenlõ.

Gyakorlás:

1. A hiperbolikus geometriában nem léteznek téglalapok, így négyzetek sem. A hiperbolikus geometriában, ha egy négyszögnek van három derékszöge, akkor a negyedik szögnek hegyesszögnek kell lennie. Készíts erre egy példát!

1. Van szabályos négyszög.
2. Minden szabályos négyszögnek négy 90°-os szöge van.
3. Egy szabályos négyszög szemközti oldalainak felezõpontjain át húzott egyenesek négy kisebb szabályos négyszögre bontják a négyszöget.
4. Szabályos négyszög átlói felezik egymást.
5. Szabályos négyszög átlói merõlegesek egymásra.

Gyakorlás:      A következõ állítások az euklideszi geometriában tételek. Melyik igaz a hiperbolikus geometriában (ha van ilyen egyáltalán)?

1. Van négyszög, ami paralelogramma.
2. Paralelogramma szemközti oldalai egyenlõk.
3. Paralelogramma szemközti szögei egyenlõk.
4. Paralelogramma átlói felezik egymást.

Gyakorlás:      A következõ állítások az euklideszi geometriában tételek. Melyik igaz a hiperbolikus geometriában (ha van ilyen egyáltalán)?

1. Van négyszög, ami rombusz.
2. Rombusz szemközti szögei egyenlõek.
3. Rombusz átlói felezik egymást.
4. Rombusz átlói merõlegesek egymásra.
5. Rombusz átlói felezik szögeit.

Definíció:     Szabályos az a sokszög, aminek minden oldala egyenlõ és minden szöge egyenlõ.

Gyakorlás:

1. A következõ sokszögek közül melyikeket tudod létrehozni a NonEuclid segítségével?
• szabályos háromszög (3),
• szabályos négyszög (4),
• szabályos ötszög (5),
• szabályos hatszög (6),
• szabályos hétszög (7),
• szabályos nyolcszög (8),
• szabályos kilencszög (9),
• szabályos tízszög (10),
• szabályos tizenkétszög (12).
2. Az euklideszi geometriában bármely sokszöget teljesen lefedhetünk egy alkalmas nagy háromszöggel. Ez annyira egyszerû állítás, hogy még sohasem láttam tételként leírva. A hiperbolikus geometriában ez nem feltétlenül nyilvánvaló. Igaz egyáltalán?
3. Az euklideszi geometriában bármely szabályos sokszögbe írható kör. Igaz ez a hiperbolikus síkon is?
4. Az euklideszi geometriában bármely szabályos sokszög köré írható kör. Igaz ez a hiperbolikus geometriában is?

Vigyázz, a kör alakjára nem hivatkozhatunk a meghatározásban (gondolj az "egyenesekre"). Én személy szerint roppant érdekesnek tartom, hogy a körök pont úgy néznek ki a hiperbolikus síkon, mint az euklideszi geometriában.

Gyakorlás:

1. Rajzolj a hiperbolikus síkon egy 8 egység sugarú kört!
2. Az euklideszi síkon bármely három, nem egy egyenesbe esõ ponton át kör rajzolható. Igaz ez a hiperbolikus geometriában is? (Ha ellenpéldát keresel, gondold végig a háromszög köré írt kör euklideszi szerkesztését.)
3. Az euklideszi geometriában a pi = körkerület/körátmérõ. A hiperbolikus geometriában ez a hányados szintén állandó (3,141592654…) minden körre. Figyelj: csakúgy, mint az euklideszi geometriában, a hiperbolikus síkon is megkapjuk a kör kerületét, ha vesszük a körbe írt szabályos sokszögek kerületei sorozatának határértékét. Az oldalszám növekedésével a beírt sokszögek kerülete mind jobban és jobban megközelíti a kör kerületét.

9.13.1 ábra

M.C. Escher, holland mûvész (1902-1972) sok szép parkettázást készített. A 9.13.2 ábra egy kis felbontású másolata Escher "Geckos" (Gekkók) címû mûvének, ami az euklideszi sík egy lefedése. Escher szívesen dolgozott nem-euklideszi geometriákkal is. Nevezetesen, "Circle Limit" (Körhatár) címet viselõ sorozatában minden kép a hiperbolikus sík egy lefedését mutatja be. A 9.13.3 ábrán látható "Heaven and Hell" (Menny és Pokol) szintén a "Circle Limit" sorozat egy darabja. Az ördögök és angyalok mindegyike egybevágó hiperbolikus háromszögekbe van beleírva. A mû eredeti méretben roppant lenyûgözõ.

9.13.2 és 9.13.3 ábra: Lefedések M.C. Escher képein.

Te tudnál készíteni ilyen parkettázást a hiperbolikus síkon?

NonEuclid Kezdõlap
Következõ téma - Alapvetõ fogalmak: Mi is a nem-euklideszi geometria?