A hiperbolikus geometria kör és felsõ félsík modelljei

8.1 A hiperbolikus geometria modelljei
A modellek elsõsorban logikai célt szolgálnak. Hasznosak, amikor a hiperbolikus geometria tulajdonságait vizsgáljuk, bár nem "néznek ki" úgy, mint a hiperbolikus sík. A NonEuclid a hiperbolikus geometria két különbözõ modelljét támogatja: a körmodellt és a felsõ félsík modellt. Egy adott alakzatot megfigyelhetünk bármelyik modellben, csak választani kell a "Nézet" menü "Hiperbolikus modell" menüpontban a "Kör" és a "Felsõ félsík" között. Az alakzat formája eltérõ lesz a két modellben, de geometriai tulajdonságai (szakaszok hossza, szögek nagysága, terület, kerület) ugyanazok. A körmodellben az egyenesek olyan körívek, amik merõlegesek a határkörre. A felsõ félsík modell egyenesei félkörök, melyeknek középpontja az x tengelyen van (a sík alsó határoló egyenesén). Nem szabad elfelejteni, hogy egyikük sem a hiperbolikus geometria egyenese. Beszélhetünk "pontokról", "egyenesekrõl", "távolságokról", "szögekrõl" vagy amirõl csak akarunk. Ha belátjuk, hogy a "pontok", "egyenesek", "távolságok", "szögek" közötti összefüggések kielégítik a hiperbolikus geometria axiómáit, akkor van egy modellünk, amivel modellezhetjük a hiperbolikus geometriát.

8.2 A Poincaré-féle körmodell
Hogy létrehozzuk a Poincaré féle körmodellt, vegyünk az euklideszi síkon egy rögzített C kört. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy C sugara 1 és középpontja az origója.

8.1. ábra: Egyenesek a körmodellben.

Legyen C_L (kék, részben szaggatott) egy, C-re merõleges kör (a metszéspontokba húzott érintõik merõlegesek). A következõkben K-pont, K-egyenes, stb. elnevezést használunk a körmodellbeli pontok, egyenesek, stb. azonosítására. Lássuk a meghatározásokat!

K-pont:Az euklideszi sík C-n belüli pontjai. Legyen Ω az összes K-pont halmaza.

K-egyenes: Vagy (1) bármely C_L kör Ω-beli része vagy (2) C bármely átmérõjének Ω-beli része.

Ha így határozzuk meg a K-egyeneseket, teljesülnek a hiperbolikus geometria axiómái. Az egyik axióma állítása szerint bármely kettõ K-ponton át pontosan egy K-egyenes húzható. Rajzolj papírra néhány skiccet, hogy "megérezd", a fenti definíció miért teljesíti az axiómát. Az "A" Függelékben megtalálod tetszõleges két K-ponton átmenõ, C-re merõleges körvonal (K-egyenes) euklideszi egyenletének levezetését is. Egy másik axióma szerint: "bármelyik szakasz bármelyik irányba végtelenül meghosszabbítható". Az axióma teljesül, bár a körmodell pontjait az egységkör határolja. Figyeld meg, hogy a K-egyenesek nyitott alakzatok (a K-pontok akármilyen közel kerülhetnek C-hez, de nem lehetnek rajt a C-n). Ezért mindegy, milyen közel van egy szakasz végpontja C-hez, mindig kerülhet picit közelebb.

A körmodellben meghatározhatjuk a pontok távolságát is (távolságfüggvény segítségével). Mielõtt megadnánk ezt a d(XY) függvényt, lássuk, milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie:

A d(PQ) távolságfüggvény bármely P és Q K-pontokra definiálva van.
d(PQ) = 0, ha P és Q egybeesõ K-pontok, máskülönben pozitív valós szám.
d(PQ) = d(QP), azaz a P-tõl Q-ig mért távolság megegyezik a Q-tól P-ig mért távolsággal.
Két K-pont közötti K-távolság a legrövidebb út, azaz K-szakasz hossza kell legyen. Ezt a "háromszög egyenlõtlenséggel" jellemezzük és felírhatjuk jelekkel is. Bármely három A, B és C K-pontokra: d(AC) ≤ d(AB) + d(BC).
A távolságfüggvénynek folytonosnak kell lenni és bármely pozitív x valós számra, lennie kell legalább kettõ P és Q K-pontnak, amikre d(PQ) = x. Ez szükséges a harmadik axiómához: "bármely középponttal és bármekkora sugárral kör rajzolható".

K-távolság: Jelöljön P és Q két K-pontot. Ezen K-pontokon át egyetlen K-egyenes halad, ami a határkör A és B euklideszi pontjaihoz tart. (Lásd a 8.1 ábrát.) Az A és B nem K-pontok, mivel rajt vannak a határkörön! Legyen |PA|, |PB|, |QA| és |QB| P és A, P és B, stb. pontok euklideszi távolsága. Ha ln jelöli a természetes alapú logaritmust, akkor a P és Q K-pontok közötti K-távolság definíciója:

A függvény formális levezetése és a fenti tulajdonságok teljesülésének bizonyítása megtalálható E.E. Moise "Elementary Geometry from an Advanced Standpoint" címû könyvében. [Moise-74]

K-körök: Egy adott K-ponttól egyenlõ K-távolságra levõ K-pontok halmaza.

K-szög mérése: Az A, B, C adott K-pontokra szerkeszd meg a BA és BC körívek BA' és BC' euklideszi érintõit a B pontban (8.2 ábra). Az ABCÐ K-szög nagyságát akkorának tekintjük, mint az A'BC'Ð euklideszi szög nagyságát.

8.2. ábra: K-szög mérése: megmérjük a körívek érintõi által alkotott euklideszi szöget.

8.3 A felsõ félsík modell
A felsõ félsík modell létrehozásához az euklideszi síkon tekintsünk egy rögzített egyenest, ST-t. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy ST az euklideszi sík x tengelye.
F-pont: Az ST egyenes egy oldalára esõ pontok (ST pontjai nem). Legyen az összes F-pont halmaza Ψ.

F-egyenes: Vagy (1) egy Ψ-beli félkör, aminek középpontja ST-n van, vagy (2) egy ST-re merõleges egyenes Ψ-beli része.

8.3. ábra: A felsõ félsík modell egyenesei.

F-távolság: Jelöljön P és Q két F-pontot. Ha az egyetlen rajtuk áthaladó F-egyenes egy félkör, akkor közelítse meg ez a félkör ST-t A és B euklideszi pontokban. Ekkor d(PQ) F-távolság legyen adott a 8.3.1. egyenlettel. Ha az egyetlen P-n és Q-n átmenõ F-egyenes egy euklideszi félegyenes, ami ST-t az A2 euklideszi pontban közelíti meg, akkor a d(PQ) távolság legyen meghatározva a 8.3.2. egyenlettel. Mind a két egyenletben |PA|, stb. a P és A, stb. közti euklideszi távolságot, ln pedig a természetes alapú logaritmust jelöli, mint a körmodellnél.

(8.3.1)

(8.3.2)

F-körök: Egy adott F-ponttól egyenlõ F-távolságra levõ F-pontok halmaza.

F-szög mérése: Az A, B, C adott F-pontokra szerkeszd meg a BA és BC körívek BA' és BC' euklideszi érintõit a B pontban (8.4 ábra). Az ABCÐ F-szög nagyságát akkorának tekintjük, mint az A'BC'Ð euklideszi szög nagyságát.

8.4. ábra: F-szög mérése: megmérjük a körérintõk által alkotott euklideszi szöget.

"A" Függelék:

Feladat: Adott két pont, P=(Px, Py) és Q=(Qx, Qy) a C egységkör belsejében, aminek középpontja az origó. Keressük a P-n és Q-n áthaladó, C-re merõleges C_L kör egyenletét.

Megoldás: Legyen (X0, Y0) a C_L kör középpontja és r_L a sugara. Mivel P és Q C_L-n van, felírhatjuk a következõ egyenleteket:

(A.1)

(A.2)

Mivel a körök merõlegesek egymásra, a középpontokat összekötõ szakasz átfogó egy derékszögû háromszögben, aminek befogói C és C_L sugarai. A Pithagorasz tételbõl:

(A.3)

A1 és A3 egyenleteket felhasználva kapjuk:

(A.4)

A2 és A3 egyenletek felhasználva kapjuk:

(A.5)

A4 és A5 egyenletek X0-ban és Y0-ban elsõfokúak, mivel a többi változót rögzítettük. Az egyenlet akkor és csak akkor megoldható, ha az együtthatók determinánsa nem zéró:

(A.6)

nem zéró. A determináns akkor és csak akkor nulla, ha a két pont egy az origón átmenõ egyenesen fekszik (C átmérõjén). Ha a két pont nem C átmérõjén fekszik, A4 és A5 könnyen megoldható, ami megadja a keresett kör (X0, Y0) középpontját.