Mi is a nem-euklideszi geometria?

1.1 Euklideszi geometria
Leghétköznapibb geometriánk az euklideszi geometria. Euklidesz görög matematikus (idõszámításunk elõtt 300 körül élt) után nevezzük euklideszi geometriának. "Elemek" címû könyve axiómák, tételek és bizonyítások gyûjteménye, melyek négyzetekrõl, körökrõl és hegyesszögekrõl, egyenlõ szárú háromszögekrõl és még sok minden másról szólnak. A manapság középiskolában tanított tételek többsége megtalálható Euklidesz 2000 éves könyvében.

Az euklideszi geometria roppant fontos volt az ókori görögöknek, használták - mint ahogy használjuk ma is - épületek tervezéséhez és földméréshez.

1.2 Gömbi geometria
A nem-euklideszi geometria elnevezés egy gyûjtõnév: minden ami különbözik az euklideszi geometriától, ide tartozik. Az egyik leghasznosabb nem-euklideszi geometria a gömbi geometria, ami a gömbfelületet írja le. A gömbi geometriát repülõgép-pilóták és hajóskapitányok használják, amikor Föld körüli útjukon tájékozódnak. A gömbi geometriának vannak meglepõ következményei. Például tudtad, hogy Floridából a Fülöp-szigetekre repülõvel Alaszkán keresztül vezet a legrövidebb út? A Fülöp-szigetek Floridától délre vannak - akkor miért rövidebb az út északra, Alaszkának? Mert Florida, Alaszka és a Fülöp-szigetek a gömbi geometriában egy egyenesre esnek (az ún. "fõkörre"). Egy másik érdekes sajátossága ennek a geometriának, hogy a háromszög szögösszege mindig nagyobb, mint 180°. Kicsi háromszögekre, mint amilyet például egy focipályán három szögletzászló határoz meg, az összeg nagyon közel van 180°-hoz. Ellenben nagy háromszögekre (mint a New York, Los Angeles, Tampa által meghatározott háromszög) az összeg jóval több 180°-nál.

Ha a gömbi geometriáról szeretnél többet megtudni, lásd az irodalmat.

1.3 Hiperbolikus geometria
A NonEuclid program szimulálja az egyik nem-euklideszi geometriát, amit hiperbolikusnak hívunk. A hiperbolikus geometria tere egy "görbült" tér, ami fontos szerepet játszik Einstein általános relativitáselméletében. A hiperbolikus geometriának sok alkalmazása van még a topológiában is.

A következõ fejezetben részletesen tárgyaljuk, felfedezzük a hiperbolikus geometriát.