Párhuzamos egyenesek
Definíció:
Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk.
A fenti ábrán BA és BC hiperbolikus egyenesek mindketten végtelenek és ugyanabban a síkban vannak. Közös pontjuk B, ebből kifolyólag NEM párhuzamosak. DE és BA hiperbolikus egyenesek is végtelenek, egy síkban vannak és mivel nincs közös pontjuk, DE párhuzamos BA egyenessel. Hasonlóképpen a DE egyenes is párhuzamos BC-vel. Ez elég különös, ugyanis az euklideszi geometriában van egy tétel, amely kimondja:
Ha két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor a két egyenes egymással is párhuzamos.
Ez az állítás tétel az euklideszi geometriában, de a hiperbolikus geometriában a fenti ellenpélda miatt nem lehet igaz (mind BA, mind BC párhuzamos DE-vel, mégis BA nem párhuzamos BC-vel). BA és DE párhuzamos, akkor is, ha nem vagy meggyőződve róla. Meggyőzésedhez először összpontosítsunk arra a tényre, hogy a fenti egyenesek végtelenek. Merthogy egyáltalán nem tűnnek annak. Általában úgy gondoljuk, hogy a végtelen egyenesek minden határon túlmennek, kifutnak a végtelenbe, ám igazából attól végtelenek, hogy nincs végpontjuk. "Kifutnak a végtelenbe" vagy "nincs végpontjuk": nem ugyanaz a kettő. Emlékezz arra, hogy a hiperbolikus geometria eme modelljében az alakzatok egyre kisebbek lesznek, ahogy egyre jobban megközelítjük a határkört, és bármely, még a körön belül levő pont és a határkör pontja közötti távolság végtelen. Még ha egy szakasz 100 millió km hosszú, akkor sem éri el a határkört és a szakasz egyik végpontja sem nyúlhat a határkörre.
A hiperbolikus egyenesek nem lehetnek euklideszi egyenesek (már csak azért sem, mert görbék). Mégis, sok tulajdonságukban megegyeznek. Az alábbiakban ezek közül sorolunk fel néhányat:
-
Az euklideszi geometriában egy és csak egy legrövidebb út van bármely két pont között. Ezt a "legrövidebb utat" szoktuk "egyenes" útnak nevezni (a két pont közé fektetett szakasz). Pontosan ugyanez igaz a hiperbolikus geometriában hiperbolikus pontokra és hiperbolikus szakaszokra.
-
Az euklideszi geometriában két (különböző) pont egy és csak egy egyenest határoz meg. Másképp, ha adott két pont, létezik egy egyenes, ami átmegy ezeken a pontokon. Hozzá kell tennünk, hogy ezen kívül nincs másik ilyen egyenes. Ez az állítás is teljesül a hiperbolikus geometriában.
-
Az euklideszi geometria szerint, a fény vákuumban euklideszi egyenes mentén halad. Hasonlóképp a hiperbolikus geometriában a fény hiperbolikus egyenes mentén terjed.
Mindezek ellenére a hiperbolikus egyeneseknek sok, az euklideszi egyenesektől eltérő tulajdonsága van. Például a következő euklideszi tételek nem teljesülnek a hiperbolikus geometriában:
-
Ha két egyenes párhuzamos egy harmadikkal, akkor a két egyenes egymással is párhuzamos.
-
Ha két egyenes párhuzamos, akkor bárhol mérjük is, távolságuk állandó.
-
Az egyeneseknek nincs végpontjuk (végtelenek), és nincs határuk sem (egy pont, ami felé tartanak, de nem érik el soha).
NonEuclid kezdőlap
Következő téma - Axiómák és tételek
Copyright©: Joel Castellanos, 1994-2002