A számfogalom felépítése

<<<<(O)>>>>

III. Racionális számok (Q)
(összeadás, szorzás, kivonás, osztás, hatványozás egész kitevővel)
 
Racionális számnak nevezzük a p/q alakú számokat (q nem 0), ahol p és q is egész szám. A racionális számok jele Q. Racionális szám pl. a 0, a 10, a -3/2 vagy az 5/4.

1. A törtszámok műveletei
A p/q alakú számokat (q nem 0) nevezzük törteknek, vagy törtszámoknak is. Egy törtben (ha ezt az elnevezést használjuk) p-t a tört számlálójának, q-t a tört nevezőjének nevezzük. Így "q nem 0" helyett mondhatjuk azt is: "a tört nevezője nem 0". A számláló-nevező elnevezéseket csak törtekre használjuk, ha racionális számoknak hívjuk a p/q (q nem 0) alakú számokat, nem.


 


Törtek
1. összeadása: a/b + c/d = (ad+cb)/bd;
2. kivonása: a/b - c/d = (ad-cb)/bd;
3. szorzása: (a/b)*(c/d) = ac/bd;
4. osztása: (a/b)/(c/d) = ad/cb
szabályok alapján történik.
5. Egy p/q törtet egyszerüsíthetünk, ha p és q nem relatív prímek: a számláló és a nevező helyett írhatjuk p/(p,q) és q/(p,q) számokat. Ekkor tovább a tört már nem egyszerűsíthető.
Általában egyszerűsítésről beszélünk, ha a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal osztjuk el, feltéve ha mindkettő osztható vele.
6. Egy törtet bővítünk, ha számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nem 0 számmal szorozzuk meg.
Tört egyszerüsítésekor és bővítésekor a tört értéke nem változik!

Minden, az egész számokra vonatkozó ismeret érvényes marad.

Kérdések:
1. Amikor bevezetjük a törtek fogalmát, azt mondjuk: olyan p/q alakú számok, ahol p és q is egész, csak q nem 0. Amikor viszont egyszerüsítünk, p-t és q-t is elosztjuk ugyanazzal a számmal és felírunk egy új törtet. De valóban mindig tört lesz az egyszerűsített szám, vagyis az új számláló és nevező is egész szám marad?
2. Azt is megjegyeztük, hogy ha p/q (p és q nem relatív prímek) törtben p helyett p/(p,q)-t, q helyett pedig q/(p,q)-t írunk, a tört tovább már nem egyszerűsíthető. Miért?

2. Tizedestörtek és racionális számok közötti kapcsolat
Tizedestörtnek nevezzük a 0,25-t, a 17,893-t vagy a 23,3333333...-t is. A vessző előtti számjegyeket egészeknek, a vessző utániakat tizedesjegyeknek nevezzük. Az elsőt tizednek, a másodikat századnak, a harmadikat ezrednek, stb. hívjuk. A fenti három számot pl. úgy kell kimondani, hogy "0 egész 25 század", "17 egész 893 ezred" és mivel a harmadiknak nem találjuk a végét, törtes formában nevezzük meg: "23 egész 1 harmad".

A tizedestörteket csoportosítjuk aszerint, hogy véges sok tizedesjegyük van-e (pl. 0,25 és 17,893) avagy végtelen sok (pl. 23,333...). Az előbbieket véges tizedes törteknek, utóbbiakat végtelen tizedes törteknek nevezzük el. A végtelen tizedes törtek között is két csoportot hozunk létre: vannak olyanok, amikben ismétlődik egy számjegysorozat a tizedes jegyek között (ilyen pl. a 23,333...: ebben a '3' ismétlődik) és vannak olyanok is, amikben nem. Az előbbieket végtelen szakaszos (vagy periodikus) tizedestörteknek, utóbbiakat végtelen nem szakaszos (nem periodikus) tizedestörteknek hívjuk.

Most már könnyen beszélhetünk a racionális számok és a tizedestörtek közötti kapcsolatról. Ugyanis milyen tizedestörttel írnánk fel a következő törteket: 1/2; 1/4; 2/3; 7/5 és 25/13?
A helyes válaszok sorban: 0,5; 0,25; 0,666...; 1,4 és 1,923076923076923076... . A harmadik esetben a '3', utoljára pedig a '923076' számjegyek ismétlődnek.

A fenti példák azt mutatják, hogy racionális számokat átírva véges vagy végtelen szakaszos tizedestörtekhez jutunk. Viszont sehogy sem sikerül olyan racionális számot mondani, amit tizedestört alakban felírva végtelen nem szakaszos tizedestörtet kapnánk. Ezt a tényt rögzíti a következő állítás:
Minden racionális szám véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakú.
(A bizonyításához gondoljuk végig, mi történik, amikor papíron elvégzünk egy osztást. Hányféle maradék adódhat?)

Visszafelé is teljesül: minden véges vagy végtelen tizedestört felírható tört alakban. A két állítást egyszerre is kimondhatjuk.

Egy szám pontosan akkor racionális szám, ha véges vagy végtelen szakaszos tizedestört formában felírható.

Kérdések:
1. Be tudnánk-e mutatni, hogy bármely véges tizedestört előáll tört alakban?
2. És azt, hogy minden tört véges vagy végtelen tizedestört?

(I. 1.)

3. A hatvány fogalmának bővítése
Idézzük fel a hatvány fogalmát:
Def. Bármely a és n természetes számra (N0):
1. 00 -t nem értelmezzük (n=0)(a=0);
2. a0 = 1 (n=0)(a<>0);
3. a1 = a (n=1);
4. an = aa...a (n>1), ahol az utolsó egyenlőségjel jobb oldalán egy csupa a-ból álló n-tényezős szorzat szerepel.

Így bármelyik természetes számot írjuk is a hatványkitevőbe, meg tudjuk mondani a jelentését.

Fussuk még egyszer át a hatványozás azonosságait is:
1. aman = am+n.
2. am/an = am-n, ha m>=n.
3. (am)n = amn.
4. (ab)m = ambm.

Most tegyük fel azt a kérdést: jelenthet-e valamit egy a számra a-n ? Tudunk-e értelmet adni egy ilyen jelnek úgy, hogy az eddig megismert összefüggéseken ne kelljen változtatni? A kérdés megválaszolásához vizsgáljunk meg néhány azonosságot. Az első azonosságot tekintve ana-n = an-n = a0 = 1. Tudjuk: an = aa...a. A második azonosságra a0/an = a0-n = a-n (most a feltételeket "lazán" kezelhetjük, hiszen csak próbálkozunk - ha nem megy, elvetjük a lehetőséget). Itt azt tudjuk, hogy a0 = 1.
Egybevetve a két vizsgált azonosságot, nem jutunk ellentmondásra: a második azonosság vizsgálata alapján 1/an = a-n, ami összhangban van az első azonossággal: ana-n = an(1/an) = 1.

Ezért vehetjük a bátorságot és kiegészíthetjük a hatvány definícióját a következőképpen:
Def. Bármely a racionális számra:
1. 00 -t nem értelmezzük (n=0)(a=0);
2. a0 = 1 (n=0)(a<>0);
3. a1 = a (n=1);
4. an = aa...a (n>1);
5. a-n = 1/an = 1/aa...a (n<0).

A hatványozás azonosságait egyszerűbb megjegyezni, mint eddig. A kitevők, m és n mindenhol egész számokat jelölnek. Az eddig megismert azonosságok egy újabbal bővülnek, a racionális számok között van értelme törtekről beszélni.
1. aman = am+n.
2. am/an = am-n.
3. (am)n = amn.
4. (ab)m = ambm.
5. (a/b)m = am/bm, ha b nem 0.

Az első két azonosság azonos alapú, az utolsó kettő azonos kitevőjű hatványokra vonatkozik.

Kérdések:
1. Ellenőrizzük le, hogy a címben felsorolt műveletek racionális számokon való elvégzése során valóban csak racionális számokat kaphatunk eredményül.

4. Számok normálalakja
Egy számot nagyon sok formában fel tudunk írni. Példának álljon itt: 25000 = 2500*10 = 250*100 = 250*102 = 25*103 = 2,5*104. Ezek közül a legutóbbi formát kitüntetjük.

Def. Egy szám normálalakja alatt egy olyan szorzatot értünk, aminek egyik tényezője 10 valamely egész kitevős hatványa, míg a másik tényező egy -10 és 10 közé eső szám. (Természetesen a szorzat értékének meg kell egyeznie a kiindulásul tekintett számmal.)

Pl. -85,23 normálalakja -8,523*10. Vagy: 0,0008523 normálalakja 8,523*10-4.

Kérdések:
1. Mennyi a ..., 0,001, 0,01, 0,1, 1, 10, 100, 1000, ... normálalakja? (Azaz hogy néz ki általában egy 10 hatvány normálalakban?)
2. Mennyi a 75/(2254) normálalakja? És a 3/100-é?

(I. 8.)


Már a másodikra is tudunk válaszolni az 1. fejezetben feltett kérdések közül: 4/3-dal kell megszoroznunk a 3-t ahhoz, hogy 4-t kapjunk. De még mindig van két kérdés, amire nem találjuk a választ.
1. Melyik számot kell hozzáadni az 5-höz, hogy 4-et kapjunk?
- A megoldás egy egész szám, a -1.
2. Melyik számmal kell megszorozni a 3-t, hogy 4-et kapjunk?
- A megoldás egy racionális szám, a 4/3.
3. Melyik számot kell megszoroznunk önmagával, hogy az eredmény 2 legyen?
- Nincs ilyen racionális szám.
4. Melyik számot kell megszoroznunk önmagával, hogy -1-t kapjunk?
- Nincs ilyen racionális szám.
Folytatjuk a kutatást.

©Trembeczki Csaba, 1999.