A számfogalom felépítése

<<<<(O)>>>>

VII. Új művelet: a logaritmus
 
1. A hatványozás kibővítése valós (irracionális) kitevőkre
Gondoljunk vissza, hogyan találtunk első irracionális számunkra, a NÉGYZETGYÖK 2-re. Ezt a számot egy játék segítségével határoztuk meg, miután rájöttünk, hogy a végtelen, nem periodikus tizedes törtek között kell keresnünk. Most tegyük fel azt a kérdést, hogyan tudnánk értelmet adni egy olyan hatványnak, aminek alapja tetszőleges valós szám (jelöljük a-val), kitevője pedig irracionális szám (jelöljük b-vel).

Mivel b irracionális, mindig tudunk adni olyan b1n és b2n, csupa véges tizedestörtekből álló sorozatokat (gondoljunk a játékra), hogy azok egyre közelebb és közelebb kerülnek egymáshoz úgy, hogy b mindig közöttük helyezkedik el:

b1n < b < b2n.

 


Ekkor viszont a hatványozás azonosságai szerint
ab1n < ? < ab2n.
A kérdés az, hogy a kétoldalt szereplő számsorozatok közelednek-e egymáshoz vagy sem. Ugyanis ha nem, akkor bajba kerülünk az irracionális kitevő értelmezését illetően. Azonban a két sorozat minden határon túl megközelíti egymást, ami lehetőséget ad arra, hogy ab -t a kérdőjel helyére írva a két sorozat által egyre jobban megközelített számmal tegyük egyenlővé.

A fentieket tetszőleges irracionális szám, mint kitevő esetén alkalmazhatjuk, ezért kiterjeszthetjük hatványozás definíciónkat az irracionális kitevőjű hatványokra. (Itt ellenőriznünk kellene, hogy a hatványozás azonosságai érvényben maradnak-e továbbra is, azonban ettől eltekintünk.) Most már mind az irracionális, mind a racionális számok szerepelhetnek kitevőként hatványokban, azaz mondhatjuk:

Értelmeztük a hatványozás műveletét tetszőleges valós kitevő esetére.

2. A hatványozás művelet által felvetett kérdések. A logaritmus.
Amikor kimondunk egy hatvány által leírt összefüggést, három számot vagy betűjelet kell használnunk. Egyet a hatvány alapjára, egyet a hatvány kitevőjére és egyet a hatvány értékére. Pl. 23 = 8 vagy ab = c. Ha kérdést fogalmazunk meg egy hatvánnyal kapcsolatban, erre a három dologra lehetünk kíváncsiak: rákérdezhetünk a hatvány alapjára, a hatvány kitevőjére, illetve a hatvány értékére.

Példának álljon itt az előbb említett hatvány, 23 = 8. Kérdéseink:
1. Melyik számmal egyenlő 23 ?
- Nyolccal.
2. Melyik számot kell 3-ik hatványra emelni ahhoz, hogy 8-at kapjunk?
- Kettőt.
3. Hányadik hatványra kell emelni a 2-t, hogy 8-t kapjunk?
- Harmadik hatványra.

Az első kérdés a hatvány értékére vonatkozik. Válaszolni rá a hatványozás definíciója segítségével tudunk: kettő a harmadikon egyenlő nyolccal.
A második kérdés a hatvány alapjára vonatkozik. Megválaszolásához megfelelő kitevőjű gyököt kell vonnunk az adott számból: harmadik gyök nyolc egyenlő kettővel.
A harmadik kérdésre sem nehéz kitalálni a választ. Itt a kitevő felől érdeklődünk. Amikor erre a kérdésre válaszolunk, azt mondjuk: a nyolc kettes alapú logaritmusa három. Jelekkel pedig azt írjuk, hogy

log28 = 3.
Azaz log28 (2-es alapú logaritmus 8) azt a kitevőt adja meg, amire 2-t emelve 8-t kapunk:
2log28 = 8.
 
A log28 kifejezésben a 2-t a logaritmus alapszámának (alapjának) nevezzük.

Tegyük fel a kérdést: milyen számokat írhatnánk még az előző példában a 2 és a 8 helyére?
Például tudunk-e választ adni a harmadik kérdésre, ha nem 2, hanem (-2) szerepel benne? Azaz mennyivel egyenlő log-28? Vajon hányadik hatványra kell emelni (-2)-t, hogy 8-t kapjunk?

Be kell látni, erre a kérdésre nem tudunk válaszolni. Ezért a negatív számokat kizárjuk a logaritmus alapszámai közül. Mivel a 0 hatványai mind 0-k, rá is hasonló sors vár. A negatív számokat és a 0-t ezzel kizártuk a lehetőségek közül. A pozitív számok között az 1 minden hatványa 1. Ez sem "jó", így tőle is megszabadulunk: logaritmus alapszáma 1 sem lehet. Viszont pozitív számoknak valós kitevőkkel csak pozitív hatványai vannak, tehát logab kifejezésben b sem lehet más, csak pozitív. Ezért a következő definíciót fogalmazzuk meg:

Def. A logab (a alapú logaritmus b, ahol a>0 de nem 1 és b>0) jelenti azt a kitevőt, amire a-t emelve b-t kapunk.

Nagyon fontos, hogy a kikötéseket betartsuk: ugyanúgy, mint amikor a törteknél kizártuk a 0 nevezőjűeket, itt is be kell tartanunk a szabályokat. A logaritmus alapja csak 1-gyel nem egyenlő pozitív szám lehet, a másik szám pedig csak pozitív lehet.

Ha ezeket betartjuk, akkor a logaritmus azonosságai a következők:
1. loga(bc) = logab + logac;
2. loga(b/c) = logab - logac;
3. loga(bn) = n*logab;
4. logaa = 1;
5. loga1 = 0;
6. logab * logba = 1;
7. logbc = logac / logab.

(III. 1.)

Trembeczki Csaba, 1999-2007.